已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，设点 ，在 中， ，周长为 .

（1）求椭圆 的方程；

（2）设不经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 与 的斜率之和为 ，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；

（3）记第（2）问所求的定点为 ，点 为椭圆 上的一个动点，试根据 面积 的不同取值范围，讨论 存在的个数，并说明理由.

（1）解：由 得： ，所以 ………①

又 周长为 ，所以 ………②

解①②方程组，得

所以椭圆方程为

（2）解：设直线 方程： ，交点

依题： 即：

过定点

（3）解： ，

设直线 与椭圆 相切，

得两切线到 的距离分别为

当 时， 个数为0个

当 时， 个数为1个

当 时， 个数为2个

当 时， 个数为3个

当 时， 个数为4个

本题考查椭圆的方程、椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查了存在性问题的解法，以及学生分析解决问题的能力，体现了分类讨论的数学思想方法．所谓存在性问题是指根据题目所给的条件,探究是否存在符合要求的结论.