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已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形， AB= BC = 2， E， F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.
（1） ；证明：BF&perp；DE；
⑵ 当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
答案
（1）直棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1B1B为正方形
所以A1B1=B1B=AB=BC=2
所以侧面BB1C1C为正方形
取BC中点M，连接B1M和EM
因为F为CC1重点，所以B1M&perp；BF
由已知BF&perp；A1B1
且A1B1B1M=B1
所以BF&perp；平面A1B1M
由于E为AC中点，所以EM∥A1B1
所以EM平面A1B1M，所以BF&perp；DE
（2）由（1）可知，A1B1&perp；BF，且A1B1&perp；B1B，所以A1B1&perp；平面B1BCC1
以B为原点，BC，BY，BB1为xyz轴建立空间直角坐标系
设C（2，0，0），A（0，-2，0），B1（0，0，2）
C1（2，0，2），A1（0，-2，2），E（1，-1，0），F（2，0，1），D（0，n，2）
则向量EF=（1，1，1），向量FD=（-2，n，1）
设向量m&perp；平面BB1C1C，则向量m=（0，1，0）
向量n&perp；平面DEF，则向量n=（x，y，z）
知识扩展
是各个侧面的高相等，底面是三角形，上表面和下表面平行且全等，所有的侧棱相等且相互平行且垂直于两底面的棱柱。上下表面三角形可以是任意三角形。正三棱柱是直三棱柱的特殊情况，即上下面是正三角形
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