小学数学思想方法的梳理（七）
课程教材研究所 王永春
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七、分类讨论思想
1. 分类讨论思想的概念。
人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。
分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。
2. 分类讨论思想的重要意义。
课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。
从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。
3. 分类讨论思想的具体应用。
分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面而言，小学数学可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的认识范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整数和分数，整数又可以分为正整数、零和负整数，整数根据它的整除性又可以分为偶数和奇数。正整数又可以分为1、素数和合数。
小学数学中分类讨论思想的应用如下表。
思想方法知识点应用举例
分类讨论思想分类一年级上册物体的分类，渗透分类思想、集合思想
数的认识数可以分为正数、０、负数
有理数可以分为整数和分数（小数是特殊的分数）
整数的性质整数可以分为奇数和偶数
正整数可以分为1、素数和合数
图形的认识平面图形中的多边形可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形…
三角形按角可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
三角形按边可以分为；不等边三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三角形
四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和两组对边都不平行的四边形
统计数据的分类整理和描述
排列组合分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础
概率排列组合是概率计算的基础
植树问题先确定是几排树，再确定每排树的情况
：两端都不栽、一端栽一端不栽、两端都栽
抽屉原理构建抽屉实际上是应用分类标准，把所有元素进行分类
4．分类讨论思想的教学。
如前所述，分类讨论思想在小学数学中占有比较重要的地位，而且应用比较广泛。在教学中应注意以下几点。
第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想，一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的认识和运算等。同时注意渗透集合的思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作为一个整体，就可以看作一个集合。
第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。
第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想解决。
第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。现实生活中的数据丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据进行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地做出推断。
第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。如对商品和物品的分类是为了便于管理和选购，对数学知识和方法进行分类，是为了更深入地研究问题、理解知识、优化解决问题的方法。
第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说，有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不一定成立；而这种特殊性在小学数学里往往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。如在小学里经常有争议的判断题：如果5a＝2b，那么a：b＝2：5；有人认为是对的，有人认为是错的。严格来说，这道题是错的，因为这里并没有规定a和b不等于0。之所以产生分歧，是因为在小学数学里有一个不成文的约定：在讨论整数的性质时，一般情况下不包括0。这种约定是为了避免麻烦，有一定道理；但是这样就造成了在解决有关问题时产生分歧，而且不利于培养学生思维的严密性，尤其是学生进入初中后的学习中，经常会因为解决问题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。
案例1：下图中共有多少个长方形？
分析：此题可分类计数，分以下几步：
单一的长方形：3×3＝9；
由两个单一长方形组成的长方形：横数2×3＝6，竖数2×3＝6，6+6=12；
由三个单一长方形组成的长方形：横数1×3＝3，竖数1×3＝3，3+3=6；
由四个单一长方形组成的长方形：4；
由六个单一长方形组成的长方形：4；
由九个单一长方形组成的长方形：1。
共计 9+12+6+4+4+1=36（个）。
案例2：任意给出4个两两不等的整数，请说明：其中必有两个数的差是3的倍数。
分析：任意一个整数除以3，余数只有三种可能：0，1和2。运用分类思想，构造这样的三个抽屉：除以3余数分别是0，1和2的整数。根据抽屉原理，必有一个抽屉里至少放了两个数，这两个数除以3的余数相等，设这两个数分别为3m+r和3n+r(m、n都是整数)，它们的差是3(m-n)，必是3的倍数。
八、统计思想
1. 统计思想的概念。
现实生活中有大量的数据需要分析和研究，如人口数量、物价指数、商品合格率、种子发芽率等等。有时需要对所有的数据进行全面调查，如我国为了掌握人口的真实情况，曾经进行过全国人口普查。一般情况下不可能也不需要考察所有对象，如物价指数、商品合格率等，就需要采取抽样调查的方法收集和分析数据，用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策，这就是统计的思想方法。在统计里主要有两种估计方法：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数据特征(如平均数、中位数和众数)估计总体的数据特征。
2. 统计思想的重要意义。
在课程标准实施前的小学数学中，统计图表的知识也是必学的内容，但受那个时代人们观念的局限，对统计的认识和教学主要限于统计知识和技能本身，并没有把统计与信息时代和市场经济社会很好地联系起来。当今社会，人们每天的日常工作和生活都会面对纷繁复杂的信息和数据，如何收集、整理和分析数据，学会运用数据说话，做出科学的推断和决策，是每一个公民必须具备的数学素养和思维方式。因此，使学生在义务教育阶段熟悉统计的思想方法，逐步形成统计观念，有助于运用随机的观点理解世界，形成科学的世界观和方法论。
3. 统计思想的具体应用。
在小学数学中，统计思想的应用大体上可分为两种：一是统计作为四大领域知识中的一类知识，安排了很多独立的单元进行统计知识的教学；二是在学习了一些统计知识后，在其他领域知识的学习中，都不同程度地应用了统计知识，作为知识呈现的载体和解决问题的方法进行教学。因而，统计思想在小学数学中的应用是比较广泛的。
小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，以及不恰当的数据及统计图表可能产生误导。这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重要的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。
4．统计思想的教学。
课程标准的颁布和实施，赋予了统计更加丰富的内涵。教师要全面理解课程标准关于统计知识的内容和理念，在教学中要注意以下几点。
第一，注重过程性目标的教学。让学生经历数据的收集、整理、描述、分析、推断和决策的过程。包括设计合适的调查表、选择合适的统计图表和统计量描述数据、科学地分析数据并做出合理的决策。统计的教学要改变以往注重统计知识和技能这种数学化的倾向，要让学生经历统计的全过程，把统计与生活密切联系起来，让学生学习活生生的统计，而不是仅仅回答枯燥乏味的纯数学问题。
第二，认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。学会用数据说话，能使我们的思维更加理性，避免感性行事。从小学开始就要让学生认识统计对决策的重要作用，为将来的进一步学习和走向社会培养良好的统计意识。如作为市场经济和信息化社会的公民，每个人无不与经济活动和投资理财打交道；如果能够根据影响经济运行的各种主要数据进行合理的分析和推断，做出正确的投资理财决策、使自己的资产不断保值和升值，对于每个公民意义重大。
当然，统计推断往往是基于用样本来估计总体，属于合情推理，并不是一种必然的逻辑关系；因而决策有时是符合预期的，有时也可能不十分正确甚至有可能是错误的。如中国2004、2005、2006、2007年的全年国内生产总值比上一年分别增长9.5%、9.9%、10.7%、11.4%，根据这个变化趋势，预测2008年有可能增长12%；这种预测是一种简单的统计推断，这仅仅是一种可能；换句话说，2008年如果没有增长那么快也是有可能的。实际上，2008年突发的全球金融危机影响了经济增长，2008年比上年只增长了9%。
第三，能对给定数据的来源、收集和描述的方法，以及分析的结论进行合理的质疑。现实生活中的各种统计数据和信息纷繁复杂，权威部门发布的统计数据基本上是科学可信的，但是有些公司或者广告发布的数据可能存在偏差。有些数据不十分合理或者不够精细，从而影响人们的认识和决策，甚至给人们带来误导。学习了统计知识以后，尤其是作为未来的公民，应该能够从科学、全面、微观的角度分析数据，从而做出正确的判断和决策。如最近公布的2009年各地区单位职工年平均工资情况。很多人认为自己没有这么高的收入，而平均工资为什么会这么高，因而就质疑统计结果。如果我们从统计的角度对数据的来源进行全面、细致的分析，把平均数和中位数结合起来，搞清楚数据的大致分布情况，就不会有疑问了。这个数据是一个平均数，是把各个单位（不包括个体户）的工资收入总额除以职工总数得出的平均数。如某市在统计的19个行业中，有10个行业的平均工资低于平均数，而且这10个行业的就业人数相对较多，平均工资最高的行业是最低行业的8倍还多。高收入行业的收入过高，极端值拉高了平均数，导致平均数大于中位数。实际上一半以上的人平均工资要低于平均数，所以很多人认为自己的收入“被增长”了。
另外，在小学阶段，由于计算难度的制约，解决一些统计问题时选定的样本容量往往较少，这时我们要注意这样的统计推断是否可信。如把一个班级50 人作为一个样本进行调查收集数据，进而对全年级甚至同龄人进行估计，要注意50人的数据是否具有代表性。如果调查50人的身高、体重、血型、鞋子号码、服装型号分布等等可能是合适的。如果调查50人出生的月份分布情况，以此来推断全年级甚至同龄人出生的月份，出现差错的可能性会大一些。因为一年有12个月，50人平均下来每月也就4到5人，容量太小代表性就差。
第四，对有关概念应正确理解，应注重知识的应用，避免单纯的数据计算和概念判断。如平均数、中位数和众数的联系和区别，这三个统计量到底在什么条件下适用，一直困扰着很多老师。另外，有些老师喜欢在一些概念上纠缠，而不是关注知识的应用和实际意义，如让学生找出下面一组数据的众数：75 84 84 89 89 92 92 96 98。这样的问题没有什么现实意义，不如给一组联系实际的数据，让学生去思考用什么量数作为该组数据一般水平的代表，更有意义。
平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量数，代表一般水平。
平均数能反映全体数据的信息，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，比较敏感，因而应用比较普遍；缺点是易受极端值的影响。日常生活和研究领域的统计数据，多数都选择平均数作为代表值。如我们国家和地方统计部门经常公布的人均产值、人均收入、物价指数等等，都是应用平均数作为代表值。
中位数处于中间水平，不受极端值的影响，运算简单，在一组数据中起分水岭的作用；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。
众数不受极端数据的影响，运算简单，当要找出适应多数需要的数值时，常用众数；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。众数可能不唯一，甚至有时没有。
这三个统计量有着各自的特点和适用的条件，可以根据研究和解决问题的需要来选择；与中位数和众数比较而言，平均数可以反映更多的样本数据全体的信息。然而它们三者并不是一种完全排斥的关系，特殊情况下这三个统计量或者其中的两个统计量都有可能成为一组数据一般水平的代表。如学生的考试成绩往往服从正态分布或者近似正态分布，那么这三个统计量很可能相等或者非常接近；这时用三个统计量中的任何一个作为该数据一般水平的代表都是可以的。有时把平均数和中位数结合使用，会了解更多的信息。如某次数学考试全班49人平均分数为92分，小林考93分、排名第25，小明的成绩比小林高2分。可以发现中位数是93分，小明的成绩处于中上等水平，平均数低于中位数，说明可能有极端的低分数。
案例1：一家公司2008年和2009年职工年工资情况如下表。
职务总经理副总经理部门经理部门副经理普通员工
人数1281079
2008年工资／万元87542
2009年工资／万元108.564.8 2.3
(1)这家公司2008年和2009年职工平均工资各是多少？
(2)这家公司对外宣称，2009年职工平均工资比2008年增长17%以上，这种说法有不妥之处吗？
分析：(1)2008和2009年职工平均工资分别为：
(8+2×7+8×5＋10×4＋79×2)÷100=2.6(万元)
(10＋2×8.5＋8×6＋10×4.8＋79×2.3)=3.047(万元)
(2)(3.047-2.6)÷2.6≈17.2%,(2.3-2)÷2=15%。
从全体职工平均工资角度看,2009年比上年增长确实超过17%。但是代表公司大多数的普通员工的平均工资低于平均数，增长率也低于平均增长率，普通员工与中高级管理人员的收入差距在逐年扩大。
案例2：日本和中国2009年国内生产总值(GDP)大约分别是49660、49270亿美元，分别排名世界第二和第三。如果中国人口总数按13.4 亿计算，日本人口总数大约是中国的9.3%。在参与统计的183个经济体中，人均GDP日本排在第17位，中国排在第101位，排在第92位的人均GDP为4059美元。比较中国和日本GDP的总量及人均GDP，并结合中位数分析，你能发现哪些信息？
分析：从GDP总量上来说，中国已经排名世界第三，而且与排名第二位的日本非常接近，可以发现中国是世界经济大国。但是从平均数的角度看，日本人均GDP为39728美元，中国为3677美元，中国远落后于日本，而且低于中位数4059美元，说明我们的人均GDP处于中下水平，与中等水平相差大约10%。
案例3：有关部门对一个社区的100个居民月度人均用水量进行了调查统计，数据如下表：
用水量／吨23456
人数／人82440 226
(1)计算这组数据的平均数、中位数和众数。
(2)什么数可以代表居民人均用水量的一般水平？
(3)如果采取阶梯水价，标准用水量以上加价收费，希望至少70％的居民不受影响，你认为人均标准用水量定为多少比较合适？
分析：
(1)平均数：(2×8＋3×24＋4×40＋5×22＋6×6)÷100=3.94(吨)
中位数和众数都是4吨。
(2)中位数和众数相等，平均数也约等于中位数和众数，这三个量差别很小，都可以作为该组数据一般水平的代表。
(3)100×70%=70，用水量在4吨及以下的人数为72人，所以人均标准用水量定为4吨比较合适。
九、概率思想
1. 概率思想的概念。
生活中的事件可以分成两类：一类是确定事件，在一定条件下一定发生的和一定不会发生的，这些事件都是确定事件；如每天日出日落、四季轮回是一定发生的，而掷两枚骰子朝上的两个数字的和是13是不可能发生的。另一类是随机事件，就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，如一个产妇生男婴还是生女婴、某种子的发芽率、某产品的合格率等事件，都是随机事件。这些随机事件表面上看杂乱无章，但是大量地重复观察这些事件时，这些随机事件会呈现规律性，这种规律叫统计规律，概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科，统计与概率有着密切的联系。
（1）事件的分类。
事件可以分为确定事件和随机事件，其中确定事件又可以分为必然事件和不可能事件。在一定条件下一定发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件。
（2）频率与概率的区别和联系。
随机事件发生的可能性的大小是概率论研究的主要内容，通过试验来观察随机事件发生的可能性的大小是常用的方法。在相同的条件下，重复进行n次试验，某一事件Ａ出现的次数m就是频数，m/n就是事件Ａ出现的频率。如果试验的次数不断增加，事件Ａ发生的频率稳定在某个常数上，就把这个常数记作Ｐ(A)，称为事件Ａ的概率。
事件的概率是确定的、不变的常数，是理论上的精确值；而频率是某次具体试验的结果，是不确定的、变化的数，尽管这种变化可能非常的小。
这里的概率是用频率来界定的，在等可能性随机试验中，虽然频率总是在很小的范围内变化，但我们可以认为频率和概率的相关性非常的强。也就是说，在一次试验中，事件Ａ出现的频率越大、事件Ａ的概率就越大；事件Ａ出现的频率越小、事件Ａ的概率就越小。反之亦然。
(3)两种概率模型。
古典概模：试验中所有可能出现的基本事件是有限的，每个基本事件出现的可能性相等。如比较经典的投硬币和掷骰子试验，都属于这种概率模型。
几何概型：试验中每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例。如比较常见的转盘游戏，就是几何概率模型。
2. 概率思想的重要意义。
生活中的很多现象都是随机现象，如气候变化、物价变化、体育比赛、汽车流量、彩票中奖等等。这些随机事件，如果能够比较准确地预测它发生的可能性的大小，就会为我们的工作和生活带来很多方便、解决很多问题。随着科技的发展，气象部门已经能够比较准确地预报天气变化，对气温、降水量、风力、风向等的变化作出比较准确的预测，帮助人们提早做出预防，从而减少灾害的发生。这些现象都离不开对数据的分析以及对事件发生可能性大小的定量刻画，从而做出合理的预测和决策，这正是统计与概率研究的主要内容。因而，统计与概率的思想方法既是进一步学习的基础，也是人们在生活和工作中必须掌握的。
3. 概率思想的具体应用。
概率思想主要应用于统计与概率领域。一是小学数学第一、第二学段都安排了可能性的内容，如会求简单的等可能性随机事件发生的可能性，根据等可能性事件设计公平的游戏规则。二是统计推断中很多情况是根据对随机事件的相关数据进行分析后，再对随机事件发生的可能性大小进行预测和决策。如2010年南非世界杯决赛西班牙对荷兰，有人预测西班牙夺冠，理由是西班牙是近年欧洲冠军、实力雄厚；还有人预测荷兰卫冕，理由是荷兰是无冕之王、两次获得世界杯亚军。西班牙和荷兰两队历史上一共交手9次，其中荷兰4胜1平4负，实力不分上下。所以两队夺冠的可能性各占一半。
4．概率思想的教学。
2001年课程改革是首次正式把概率的内容纳入小学数学，对这部分内容的科学性和难度的准确把握是个挑战。这部分内容的教学应注意以下几点。
第一， 随机事件的发生是有条件的，是在一定条件下，事件发生的可能性有大小；条件变了，事件发生的可能性大小也可能会变化。如种子的发芽率与很多因素有关，如种子的质量、保存期限、温度、水分、土壤、阳光、空气等等。在各种条件都合适的情况下，发芽率可能高达90%；条件不合适发芽率可能降到50%甚至不发芽。
第二， 避免把频率与概率混淆。如最经典的就是用掷硬币试验去验证概率。从概率的统计定义而言，做抛硬币试验是可以的，可以使学生参与实践活动、经历知识的形成过程、提高学习的兴趣。关键是广大教师心中要明白：试验次数少的时候频率与概率的误差可能会比较大，但是试验次数多，也不能每次都保证频率与概率相差很小，或者说试验次数足够大的两次试验，也不能保证试验次数多的比试验次数少的误差小。这是随机事件本身的特点决定的，教师要通过通俗的语言使学生清楚这一点。这样在抛硬币时出现什么情况都是正常的，在学生操作的基础上，有条件的可通过计算机模拟试验，还要呈现数学家们做的试验结果，使学生理解概率的统计定义。
第三，创设联系学生生活的情境，要注意每个基本事件是否具有等可能性。如下面的题目就不合适：全班50个学生，选一人代表全班参加科普知识竞赛，张三被选中的可能性是多少？事实上参加竞赛是有一定条件的，如需要学习好、知识面宽等等，每个学生被选中的可能性是不相等的。
第四， 概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中可能出现意外，即频率与概率有一定偏差。随机中有精确，精确中有随机，这是对待概率的一种科学态度。
案例1：连续两次抛掷一枚硬币，如果第一次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上吗？
分析：从概率角度分析，抛一枚硬币正面和反面朝上的可能性相等，都是二分之一；并不会因为第一次正面朝上而影响第二次正面和反面朝上的可能性相等的理论事实。因此，第二次正面和反面朝上的可能性仍然相等。
案例2：天气预报预测明天降水概率是90%，明天一定下雨吗？
分析：明天是否降水是一个随机事件，尽管降水概率高达90%，说明降水的可能性很大，但可能性大的事件也可能不发生，所以不能说明天一定下雨。
案例3：六(2)班同学血型情况如图。
（1）从图中你能得到哪些信息？
（2）该班有50人，各种血型各有多少人？
分析：(1)从扇形图中可以初步得到如下信息：在六(2)班的同学中有四种血型，这四种血型Ｏ型的人最多、占40%，Ａ型和Ｂ型的人数分别排第二、第三，ＡＢ型的人最少，只占8％。
（2）50人中Ｏ型、Ａ型、Ｂ型和ＡＢ型的人数分别有：20、14、12、4人。
案例3是人教版教材上的习题。实际上这道题还可以进一步扩展，可以把全班50人的数据作为一次抽样调查的数据，从而估计其他人群(如六年级、全校、本地区等等)血型的分布情况，这是学习统计与概率最重要的意义所在。当然，本题的第一问也包含了一些推断的信息，但由于问题比较笼统，学生未必能有更好的发现。因此，本题如果再出一个如下的小题，效果会更好。
（3）六年级有200人，你能估计各种血型的人数吗？