小学数学思想方法的梳理（九）
课程教材研究所 王永春
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十二、集合思想
1. 集合的概念。
把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。
集合的表示法一般用列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。此外，有时也可以用封闭的曲线（文恩图）来直观地表示集合及集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素。
一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a与之对应。数集之间可以建立一一对应，如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。其他集合之间也可以建立一一对应，如五(1)班有25个男生，25个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应；再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合，这两个集合之间也可以建立一一对应。
2. 集合思想的重要意义。
集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。如数系的扩展，从小学的自然数到整数，再到中学的有理数、无理数和实数，都可以从集合的角度来描述。有时用集合语言来表述有关概念更为简洁，如全体偶数的集合可表示为｛x|x＝2k，k∈Z｝。集合沟通了代数(数)和几何之间的关系，如y = kx ，既是正比例函数，又可以表示一条直线；也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足y = kx 的有序实数对所组成的点的集合。用集合图描述概念的分类及概念之间的关系，往往层次分明、直观清晰，如四边形的分类可以用文恩图表示。
3．集合思想的具体应用。
集合思想在小学数学的很多内容中进行了渗透。在数的概念方面，如自然数可以从对等集合基数（元素的个数）的角度来理解，再如在一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应，让学生理解“同样多”的概念，实际上就是两个对等集合的元素之间建立一一对应；数的运算也可以从集合的角度来理解，如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集，再如求两数相差多少，通过把代表两数的实物图或直观图一对一地比较，来帮助学生理解用减法计算的道理；实际上就是把代表两数的实物分别看作集合Ａ、Ｂ，通过把Ａ的所有元素与Ｂ的部分元素建立一一对应，然后转化为求Ｂ与其子集（与Ａ等基）的差集的基数。此外，在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系，如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合，记为Ａ；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合，分别记为Ｂ、Ｃ、Ｄ，这三个集合就是集合Ａ的三个互不相交的子集，Ｂ、Ｃ、Ｄ的并集就是Ａ。再如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。
4．集合思想的教学。
集合思想在小学数学中广泛渗透，在教学中应注意以下几个问题。
第一，应正确理解有关概念。我们知道，两个数之间可以比较大小，但是两个集合之间无法直接比较大小，也就是说一般不说两个集合谁大谁小。如有两个集合A、B，当且仅当它们有完全相同的元素时，称A、B相等，记为A=B。 如A={2，3，5，7}，B={ x|x是小于10的素数}。集合之间可以有包含关系，如C={2, 3, 5, 7, 11}，则A是C的真子集。集合之间可以比较基数的大小，也就是比较元素的个数的多少。只要两个集合元素间能够建立一一对应的关系，那么就说两个集合的元素个数相等，就是基数相等，即等势或等基。如果A是Ｃ的真子集, 就说A的基数小于Ｃ的基数。
对于有限集比较容易数出它的元素的个数，而对于无限集，又怎样比较它们元素个数的多少呢？如正整数集合与正偶数集合，它们的基数相等吗？我们知道，两个集合的元素，只要能够建立一一对应就基数相等。正整数集合与正偶数集合的元素之间可以建立如下的一一对应关系。
１ ２ ３ ４ ５ ┅
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
２ ４ ６ ８ １０ ┅
因此，这两个集合的元素个数相等，也就是它们的基数相等。
案例1：乒乓球比赛有16人参加Ａ组的小组赛，规定采取淘汰赛决出小组第一名参加决赛。一共要进行多少场比赛？
分析：淘汰赛一般的规则是每两个人分为一组比赛一场，胜者进入下一轮继续进行两人一组比赛；如果出现单数就有一人轮空，直接进入下一轮比赛。这样一直进行下去，直到决出第一名。按照这个思路解答，只需要把每一轮比赛的场数算出来，最后加起来就行。第一轮共有8场比赛，第二轮共有4场比赛，第三轮共有2场比赛，第四轮共有1场比赛；所以总共有15(8+4+2+1=15)场比赛。
以上思路层次清楚、容易理解，小学生一般都可以接受，但是如果参加小组比赛的人比较多，计算起来就比较麻烦。下面用一一对应的思想来分析：因为每场比赛淘汰一个人，有一场比赛就淘汰一个人，没有比赛就不淘汰人，要想淘汰一个人就必须有一场比赛，也就是说比赛的场数与被淘汰的人数是一一对应的。在小组参赛的16人中，最后只有一人得第一名，要淘汰15人，所以比赛的场数为15场。
第二，正确把握集合思想的教学要求。集合思想虽然在小学数学中广泛渗透，但是集合的知识并不是小学数学的必学内容；因而应注意把握好知识的难度和要求，尽量使用通俗易懂的语言渗透集合思想。集合除了可以表示概念系统及概念间的关系外，利用文恩图进行集合的直观运算，可以解决一些分类计数的问题。
案例2：六(1)班举办文艺活动，演出歌舞节目的有9人，演出小品等节目的有12人，两类节目都参加的有5人。该班共有多少人参加这两类节目的演出？
分析：为了便于理解集合的运算原理，我们借助文恩图来分析。左边的圈里表示演出歌舞节目的人，右边圈里表示演出小品等节目的人。两个圈相交的共有的部分有5人，表示这5人既参加了歌舞节目，又参加了小品等节目的演出。左边圈中没跟另一个圈相交的单独的部分有4人，表示这4人只参加了歌舞节目的演出。因此，参加歌舞节目演出的9人由两部分组成：一部分是只参加歌舞节目演出的4人，另一部分是既参加歌舞节目又参加小品等节目演出的5人。同样道理，参加小品等节目演出的12人由两部分组成：一部分是只参加小品等节目演出的7人，另一部分是既参加小品等节目又参加歌舞节目演出的5人。综合以上分析，可以得出：该班参加这两类节目演出的人数是4+5+7=16，或9+12－5=16。
第三，集合思想的教学要贯彻小学数学的始终。如上所述，集合思想在一年级学习之初，学生在学习认数和分类等知识中就已经有所接触，一直到高年级学习公因数和公倍数、三角形和四边形的分类、数的分类(正数、0、负数)等等，不同年级和不同知识领域都有所渗透。这里涉及了用集合语言表示概念及概念间的关系、集合的元素之间的对应关系、集合的运算等等。因此，集合思想的渗透不是一朝一夕的事情，而是坚持不懈的长期的过程。
十三、数形结合思想
1. 数形结合思想的概念。
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。
2. 数形结合思想的重要意义。
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。
3. 数形结合思想的具体应用。
数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为 “以形助数”。数形结合思想在中学数学的应用主要体现在以下几个方面：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)与几何有关的知识，如三角函数、向量等；(5)概率统计的图形表示；(6) 在数轴上表示不等式的解集；(7)数量关系式具有一定的几何意义，如s=100t。
数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍和广泛的应用，主要体现在以下几个方面：一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系。二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、位置、正反比例关系图象等，使学生体会代数与几何之间的联系。这方面的应用虽然比较浅显，但这正是数形结合思想的重点所在，是中学数学的重要基础。三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现，统计图表把抽象的枯燥的数据直观地表示出来，便于分析和决策。四是用代数(算术)方法解决几何问题。如角度、周长、面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可以知道它是什么样的三角形等等。
4. 数形结合思想的教学。
数形结合思想的教学，应注意以下几个问题。
第一，如何正确理解数形结合思想。数形结合中的形是数学意义上的形，是几何图形和图象。有些老师往往容易把利用各种图形作为直观手段帮助学生理解知识，与数形结合思想中的“以形助数”混淆起来，彼“形”非此“形”，小学数学中的实物和图片作为理解抽象知识的直观手段，很多时候是生活意义上的形，并不都是数形结合思想的应用，如6+1=7，可以通过摆各种实物和几何图片帮助学生理解加法的算理，这里的几何图片并不是数形结合中的形，因为这里并不关心几何图片的形状和大小，用什么形状和大小的图片都行，并没有赋予图片本身形状和大小的量化的特征，甚至不用图片用小棒等材料也能起到相同的作用，因而它更是生活中的形。如果结合数轴（低年级往往用类似于数轴的尺子或直线）来认识数的顺序和加法，那么就把数和形（数轴）建立了一一对应的关系，便于比较数的大小和进行加减法计算，这是真正的数形结合。由于在解决实际问题时，通过画线段图帮助学生分析数量关系是老师和学生都非常熟悉的内容，因此在案例中不再出现这方面素材。
案例1：
分析：此题很难用小学算术的知识直接计算，因为它有无穷多个数相加，如果是有限个数相加，用等式的性质进行恒等变换可以计算。从题中数的特点来看，每一项的分子都是1，每一项的分母都是它前一项分母的2倍，或者说第几项的分母就是2的几次方，第n项就是2的n次方。联想到分数的计算可用几何直观图表示，那么现在可构造一个长度或者面积是1的线段或者正方形，不妨构造一个面积是1的正方形，如下图所示。先取它的一半作为二分之一，再取余下一半的一半作为四分之一，如此取下去……当取的次数非常大时，余下部分的面积已经非常小了，用极限的思想来看，当取的次数趋向于无穷大时，余下部分的面积趋向于0，因而，最后取的面积就是1。也就是说，上面算式的得数是1。
第二，适当拓展数形结合思想的应用。数形结合思想中的以数解形在中学应用的较多，小学数学中常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。除此之外，还可以创新求变，在小学几何的范围内深入挖掘素材，在学生已有知识的基础上适当拓展，丰富小学数学的数形结合思想。
案例2：用两个一样的直角三角形和一个等腰直角三角形（腰等于前两个直角三角形的斜边），可以拼一个直角梯形，如下图。如果直角三角形的边长分别是3、4、c， 5、12、c，根据梯形的面积等于3个三角形的面积之和，比较每个直角三角形的两条直角边的平方的和，与斜边的平方之间的大小关系，你能发现什么？如果直角三角形的边长分别是a、b、c时，你又能发现什么？
分析：当直角三角形的边长分别是3、4、c时，梯形的面积是：(3+4)×(3+4)÷2=24.5, 3个三角形的面积和是：3×4÷2×2+c2÷2=24.5，可得c2=25,即c2＝32+42。
当直角三角形的边长分别是5、12、c时，
梯形的面积是：(5+12)×(5+12)÷2=144.5,
3个三角形的面积和是：5×12÷2×2+ c2÷2=144.5，
可得c2=169, 即c2＝52+122。
当直角三角形的边长分别是a、b、c时，也就是说直角三角形的三条边长可以取任意不同的值的时候，仍然有梯形的面积等于3个三角形的面积之和。
梯形的面积是：(a+b)×(a+b)÷2,
3个三角形的面积和是：a×b÷2×2+c2÷2=(2ab+c2)÷2。
(a+b)×(a+b)÷2
=[a(a+b)+b(a+b)]÷2
=(a2+b2+2ab)÷2
所以有(a2+b2+2ab)÷2 =(2ab+c2)÷2，可得a2+b2 =c2。
根据以上计算结果，由此得出一个重大发现：直角三角形两条直角边的平方的和等于斜边的平方。实际上这是美国第20任总统茄菲尔德发现的证明勾股定理的方法。
这里有一个难点就是(a+b)×(a+b)的计算，这是中学的多项式乘法。在小学学习乘法分配律时已经会计算a(b+c)=ac+bc,那么计算(a+b)×(a+b)可以先把左边的(a+b)看作一个数，分别与右边括号中的a和b相乘，再进行计算。
(a+b)×(a+b)＝(a+b)a+(a+b)b=a2+ba+ab+b2= a2+b2+2ab
案例3：把两个形状和大小相同的长方体月饼盒包装成一包，怎样包装最省包装纸？
分析：此题是小学数学比较典型的通过探索活动发现规律的题目，一般情况下教师会给学生足够的学具进行操作，拼出几种包装方法，再通过计算比较表面积的大小找到最佳答案。现在我们从代数思想出发，不用任何操作和具体数量的计算，一般性地，假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，并且a>b>c(只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁小并不影响用代数方法计算的过程和结论)。
首先要明确的是，问题所求怎样包装最省包装纸，实际上就是求怎样拼才能使拼成的大长方体的表面积最小。每个长方体有6个面，两个长方体拼成一个大长方体后仍然有6个面，但这6个面的面积是原来长方体的10个面的面积，其中有两个面是原来长方体的面，另4个面分别是原来的相同的两个面拼成的；也就是说，大长方体的表面积已经不是原来两个长方体的12个面的面积直接相加的和了，而是它们的和再减去拼在一起的两个面的面积和。原来两个长方体的12个面的面积和是恒定不变的，因而大长方体的表面积的大小，取决于减去的（拼在一起的）两个面的面积和的大小，减去的两个面的面积和越大，大长方体的表面积就越小。根据已知条件可知，ab>ac>bc，所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸。列成公式为：Ｓ＝4(ab+bc+ac)－2ab。