小学数学思想方法的梳理（八）
课程教材研究所 王永春
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十、分析法和综合法
分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1. 分析法和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基
本方法，应用比较普遍。因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。
2. 分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。这样分析了数量关系和解题思路后，再利用综合法根据已知条件列式解答。再如在学习概率统计时对各种统计数据需要经过整理和描述，并进行分析和综合，做出合理的判断和预测。虽然新课标并没有明确提出逻辑思维能力的培养，但在推理能力方面仍然提出了“能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。”这其中就包含了对学生逻辑思维、分析和综合能力的要求。分析能力不仅是逻辑思维能力的重要方面之一，也是其他一些思维能力的基础。分析法和综合法是培养学生分析问题、解决问题和推理等能力的重要的思想方法。因此，分析法和综合法在课标时代仍然是培养逻辑思维能力和解决问题能力的重要的思想方法。
3. 分析法和综合法的具体应用。
如上所述，分析法和综合法作为数学的思想方法，在小学数学的各个方面都有重要的应用。首先，在四大领域的内容中，无论是低年级的数和计算、图形的认识，还是中高年级的方程和比例、统计与概率，分析法和综合法都有较多应用。如数的计算法则的学习，就是一个先分析再综合概括的过程，先一步一步地学习法则的不同方面，再综合概括成一个完整的法则。其次，在贯穿整个数学学习过程中的问题解决、判断和推理证明等方面，分析法和综合法也是无所不在。如在进行一个概念或者性质的判断时，必须先进行分析，然后才能做出判断。
4．分析法和综合法的教学。
分析能力和综合能力作为培养逻辑思维能力和解决问题能力的重要方面，在课标时代仍然要给予足够的重视，在教学中应注意以下几点。
第一，在学习一般的数学概念和性质时注重分析能力和综合能力的培养。小学数学的很多知识，学生往往经历先分析再综合的过程，即先认识局部特征，再从整体上认识或者形成抽象概念的过程。如图形的认识，在第一学段学生通过操作和直观初步感知图形的一些特征，到了第二学段，可以从整体上认识或者抽象成概念。教师从低年级开始就应注重分析能力的培养，从而为后续的学习打下较好的基础。
第二，在解决问题时注重分析法和综合法的结合运用。
简单的问题，往往直接应用综合法便可解决；复杂的问题，往往需要把分析法和综合法结合运用。分析法从问题出发逐步逆推，便于把握探索的方向，综合法的思维具有发散性，能够提供多种策略；把二者结合起来，便于根据已知条件提供向问题靠拢的策略，使问题尽快得到解决。
案例1：一件衬衫的标价是150元，现在因换季按标价打八折的优惠价出售，还能够在进价的基础上获利20%。这款衬衫的进价是多少钱？
分析：要想求进价是多少钱，需要知道进价加上获利的20%一共是多少钱，进价加上获利的20%等于优惠价，优惠价等于标价的80%。
根据分析法找出的数量关系和解题思路，用综合法列式如下。
（1）进价加获利20％一共的钱数：150×80%＝120(元)
（2）这款衬衫的进价是：120÷（1+20%）＝100（元）。
列成综合算式是：150×80%÷（1+20%）＝100（元）。
案例2：食品店把120千克巧克力分装在两种大小不同的盒子里，先装0.25千克一盒的装了200盒，剩下的每盒装0.5千克。这些巧克力一共装了多少盒？
分析：要想求一共装了多少盒，因为有大盒和小盒两种包装规格，已经知道小盒有200盒，所以要先求大盒的装了多少盒。因为大盒每盒装0.5千克，要想求大盒装了多少盒，应先求大盒共装了多少千克。因为总共有120千克巧克力，要想求大盒装了多少千克，应先求小盒装了多少千克。可以根据已知条件小盒每盒装0.25千克和共有200盒，算出小盒装的千克数。
利用分析法找出了数量关系和解题思路，即可用综合法列式解答。
（1）小盒共装的千克数：0.25×200=50(千克)
（2）大盒共装的千克数:120－50=70(千克)
（3）大盒装的盒数:70÷0.5=140(盒)
（4）一共装的盒数:200＋140=340(盒)
综合算式为:200+(120-0.25×200)÷0.5=340(盒)
案例3：明明家有一些苹果和梨，苹果的个数如果再减少5个，就恰好是梨的个数的3倍。如果每天吃4个苹果和2个梨，当梨吃完时苹果还剩15个。那么原来梨和苹果各有多少个？
分析：要想求出苹果和梨的个数，一是要找出苹果和梨的关系，二是要求出苹果或者梨的个数。从题目中可以看出，苹果比梨的个数多，可考虑把梨的个数作为标准量来分析它们的倍数关系。从题目的第二句话可以得出：苹果比梨的2倍多15个；从第一句话可以得出：苹果比梨的3倍多5个。综合起来可以得出：苹果和梨相比较，苹果减少15个是梨的2倍，减少5个是梨的3倍；所以，从15个中减去5个，剩下的10个就是梨的个数。
十一、反证法
1.反证法的概念。
反证法是间接证明的一种基本方法，当我们需要证明一个判断为真时，先假设这个判断为假，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原判断应为真，这样的证明方法叫做反证法。反证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，就是说两个互相矛盾的判断不可能同假，其中必有一真。
2.反证法的重要意义。
如前所述，课程标准提出了培养学生推理能力和逻辑思维能力的要求。反证法是从另一个角度利用推理进行证明的思想方法，无疑也是培养学生推理能力的重要的思想方法。因此，它的重要性也是不言而喻的。另外，反证法虽然有一定难度，但是它对于培养学生思维的灵活性和解决问题的能力也有益处。
3.反证法的具体应用。
反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和其他学科中也有应用。数学史上有比较经典的利用反证法证明的问题，如证明是无理数，证明素数有无限多个等。在小学数学中，反证法的应用不多，在抽屉原理等问题中有一些应用。
4.反证法的教学。
反证法在小学数学教学中应用较少，教师在教学时应注意以下几点。
第一，掌握它的基本原理和步骤是必要的。反证法采用的论证方式是演绎推理中的假言推理形式，依据的是排中律。它的证明步骤大致如下：(1)假设待证的结论为假、反论题为真；(2)从反论题出发，经过正确的逻辑推理，得出与已知条件或者定义、定理、公理、事实等矛盾；(3)根据排中律得出原结论成立。
第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解。在描述一对概念间的关系时，应注意怎样描述才是矛盾的。如是与不是、等于与不等于、大于与不大于、至少有一个与一个也没有等是相互矛盾的关系。有时候要注意容易出现错误的地方，如大于5与小于5、正数与负数等不是相互矛盾的关系，是一种对立关系。也就是说，两个矛盾的种概念外延之和等于属概念的外延，两个对立的概念的外延之和小于属概念的外延。大于与小于中间有等于、正数和负数中间有0。大于5与不大于（小于等于）5、正数与非正数（0和负数）是矛盾关系。
第三，对于学生来说，只需初步了解其方法。作为教师而言，要掌握反证法的基本原理、步骤和推理方法，以便在教学中把握反证法的科学性。学生通过简单的案例和运用反证法通俗易懂的推理过程，能够了解反证法的基本思想和数学方法的丰富性，培养思维的灵活性。
案例1: 把43人分成7个小组，总有一个小组至少有7人。请说明理由。
分析：假设每个小组最多有6人，那么7个小组最多有42人，与已知条件有43人矛盾，假设不成立，所以总有一个小组至少有7人。
案例2：把11个参加活动的名额分配给6个班，每班至少分配1人。请说明：不管怎样分，至少有3个班的名额相等。
分析：假设名额相等的班级最多有2个，那么需要的名额总数至少应为：（1+2+3）×2=12（个），与已知条件有11个名额矛盾。所以至少有3个班的名额相等。
案例3：在直角三角形ABC中，∠C是直角，请说明：∠A一定是锐角。
分析：假设∠A不是锐角，首先三角形的任何一个内角不可能等于0度，那么有∠A≥90°，又因为∠C =90°，∠B>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾。所以∠A一定是锐角。